数学史的问题设计

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王 芳 浙江省义乌中学

数学史的问题设计是学生理解数学思想、感悟数学文化的有效载体，是贯穿《数学史选讲》 教学过程的一项重要任务，不仅直接关系到数学史的教育效果，也将对学生的数学观产生深远的影响． 浙江省义乌中学

数学史的问题设计必须体现数学史知识“历史的”和“数学的”双重特质，坚持以三维目标为导向，以体现数学史的教育实质为宗旨，进行辨证施治．不妨适当降低“知识与技能”的要求，强化“过程与方法”的思想，突出“情感、态度与价值观”的体验和感悟，着力于实现数学史的教育功能．同时改良惯有的数学问题设计思路，通过传承与创新，为数学史教育寻找到恰当的问题设计范式．

一、数学史问题设计的基本原则

问题指向的科学性．科学性是对数学问题的结构、指向及叙述的合理性、严谨性和清晰性的要求．鉴于数学史知识不同于数学定义或定理，尤需注重问题指向的科学性．《数学史选讲》择其精要编拟成书，必将受制于整体布局，对于“A是B”之类的问题，不能随意改编．例如，对于“笛卡儿和费马共同分享了创立解析几何的殊荣”，我们可以认为“费马是解析几何的创始人”，但设计成“费马是     的创始人”则是错误的．作为17世纪上半叶最伟大的数学家之一，费马还与帕斯卡分享了概率论开创者的荣誉，奠定了数论的基础． 浙江省义乌中学

材料组织的思想性．数学史实际上是与人类的各种发明与发现、人类经济结构的演变、以及人类的信仰相互交织在一起的．通过有效地组织素材，把数学史实串联集中起来，可以揭示数学形式之中蕴涵着人类的思想和精神，展现数学史中最激动人心的部分．例如勾股定理在教材中并没有专题介绍，而是逐步渗透穿插于各个章节：先在第一讲中点出普林顿322号数学泥板所刻的勾股数表，再在第二讲中指出勾股定理可能是所有数学定理中证法最多的，然后在第三讲又提及了赵爽弦图的“无字证明”，在第四讲中又延伸至“费马猜想”．从远古的发现到无数人投入其中的证明乃至它产生的广泛的应用价值，勾股定理折射出人类文明的发展历程．

呈现方式的人文性．彰显数学的人文色彩可以提高学生对数学文化的感知能力．例如在设计“ 表示什么数？”时，不妨借鉴语文中“起、承、转、合”的写作手法，进行“文学”地处理：（起）早期数的概念总是与具体的事物紧密相连的．（承）罗素曾说：“不知道要经过多少年，人类才发现一对锦鸡和两天是数字2的例子．”研究表明，一般人的数觉不超过四．（转）但人类有一种独具的特性——计数．从计数到丰富多彩的记数制度，是古代人民长期实践和智慧的结晶．中国古代用算筹表示数，算筹记数法就是现代的十进位值制．（合）如果你生活在春秋时期，能说出“ ”表示什么数吗？平和的表述增加了信息承载量，让学生认识到“数”的概念来之不易，也能体会到数学与人类文明发展的联系． http://www.ywhs.net

二、数学史问题设计的基本策略 义中校园网

1．化虚为实，感受数学思想 http://www.ywhs.net

数学思想是数学的灵魂，是数学精神的高度概括，也是数学史的精华所在．值得注意的是，作为抽象层面的数学思想，因为数学史的描述而有了直接表露的机会．公理化思想、数形结合思想、极限思想、集合论思想┅┅在数学史中熠熠生辉．与学生之前的解题经验相比，他们更为全面地了解数学思想的发生、发展、成熟的动态过程．因此，有必要在数学史的问题设计中突出数学思想．与单纯地以解题来直观认识数学思想不同的是，这里的问题设计还可以置之于广阔的历史视野中，通过历史的洗礼以诠释数学思想所具有的巨大的社会文化价值． http://www.ywhs.net

例如公理化思想．“欧几里德与《原本》”一节介绍了欧几里德用公理化方法把过去的知识系统化、条理化地整理在一个严密的系统之中．展示其原汁原味的证明可以加深学生对公理化思想的理解． http://www.ywhs.net

如图，在△ABC中，若AC=BC，求证：∠A=∠B． 义中校园网

下面是欧几里德对该命题的证明过程．

因为任何角都能被平分（前已证），∠C是一个角，因此

它也能被平分．

作角C的平分线CD．

因为任何两个三角形的两边和这两边所夹的角，与另一个三角形的两边和这两边所夹的角相等，则这两个三角形全等（前已证），而AC=BC ，∠ACD=∠BCD，CD=CD，所以 △ACD与△BCD全等． 义中校园网

因为两个全等的三角形对应边相等，而△ACD与△BCD全等，所以∠ A=∠B． 义中校园网

这种推理模式就是学生熟悉的“三段论”，过程之严谨赫然在目，材料中出现的“前已证”隐含了公理化的方法，学生自然能够理解《原本》中为什么作出一些定义、公理和公设．

除了推理的严密性，这种思想令人着迷之处还在于：它只需从尽可能少的原理出发，借助正确的推理就可以得出正确的结论，因而赋予了人类不必依靠实验就能预见事物、寻找真理的能力．它的历史示范作用如此巨大，甚至被引用到其它学科中．史料表明：牛顿所著《自然哲学的数学原理》的结构是一种标准的公理化体系．“现代哲学之父”笛卡儿也深受启发，在《方法论》中建立了其哲学体系的基础．

2．化一般为特殊，理解数学家的眼光

数学的历史也是数学家的思想史．“数学的每一分支打上了它的奠基者的烙印，并且杰出人物在确定数学的进程方面起决定性作用．” 在数学发现或数学创造的背后，蕴涵着数学家睿智的思想、敏锐的视角和独特的行为方式．理解数学家的眼光，有助于理解数学发展的历史进程． 浙江省义乌中学

然而，数学家与中学生之间的差异是显而易见的，数学史中涉及到的不少内容难免超出学生的知识水平之外．如果一味地介绍结论，学生难以洞察其中的玄机．而照般问题的

解决过程，又让学生感到晦涩难懂．把数学问题进行特殊化处理是破解这一难点的有效途径．

阿基米德创立的“平衡法”首开积分学的先河，是数学与物理的完美结合．教材中仅给出了“抛物弓形的面积是等底等高三角形的 ”这个结论，教师可以把斜线段AC特殊化成与 轴平行，探索特殊弓形AOC面积（见右图）．

过点A作抛物线的切线交y轴于N，欧几里德已在《二次曲线》中证明得出MO=ON．作CE//MN交直线AO于F．过弦AC上任意点D，作DQ//MN．则线段CF与FE的长度关系是   ①    ．延长AF至R，使FA=FR． 浙江省义乌中学

首先，阿基米德证明了：FR•DB=FP•DQ．其物理意思是：把FR和FP看作以F为支点的杠杆的两臂，若把DB看作是放在R处的重物，它就会与放在P处的重物DQ相平衡．然后，阿基米德把弓形AOC与△AEC的面积一起进行比较．他把弓形AOC的面积看作是由DB这种线段积成的，把△AEC面积看作是由DQ这种线段积成的，因此有：FR•弓形AOC的面积=FP•△AEC的面积．

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现在，阿基米德把所有线段DQ（的质量）集中于重心G，则弓形AOC的面积:△AEC的面积=FP:FR=FP:FA=FG:FA=1:3．又因为△AOC与△AEC的面积的比例关系满足   ②    ，故弓形AOC面积是△AOC面积的   ③    ．

在设计中，较难的知识直接陈述给出，基本体现了“平衡法”中用微分思想和杠杆原理求弓形面积的主要脉络，把接近学生认知水平的部分交给学生完成，他们凭借初中知识就能解决上述问题，从而对阿基米德解决该问题技巧之高超、方法之妙产生共鸣． 浙江省义乌中学

3．化陌生为熟悉，锤炼理性精神

数学中充满着猜想、发明和探究，研究性学习与数学史相结合是践行新课程理念的理智选择．它使“数学”与“文化”在历史的背景中有机地融合起来，既提升理性思维，又带有浓郁的文化色彩，从而能够深入到精神层面．借鉴海克尔的“生物发生学基本定律”，从“早期的算术与几何”到“康托尔的集合理论”，《数学史选讲》涉及到了自小学到高中的主要数学知识，并昭示着这些知识的后继发展方向，这无疑是开展研究性学习的良好机会，也是数学史问题设计的绝佳模板．在问题设计中，以数学史为“源”，以熟悉的数学知识为“根”，可以调动学生的主观能动性，开展积极的思考和探索．

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算筹与算盘的相似之处显而易见，算筹中一根上筹当五，一根下筹当一；而算盘中，梁上一珠当五，梁下一珠当一．为提高运算速度，我国古代先民还编制出了各种口诀．不妨让学生反观熟悉的“珠算加法口诀表”，这些的规律是如何得到的呢？以“加四”中的“四下五去一”为例．

记某档的梁下算珠有 个，梁上算珠有 个，该档表示的数字是 ，则 ．

当 时， ，N =0．因为 +4=6，而6=1+5=1+N，只需把梁上的算珠拨下一个，把梁下的2个算珠拨去一个，俗称“下五去一”；

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当 时， ，N=0．因为 +4=7，而7=2+5=2+N，只需把梁上的算珠拨下一个，并把梁下的三个算珠拨去一个，仍然是“下五去一”；

同理，当 时也是“下五去一”．那么， 取哪些的值时采用 “四去六进一”？ 浙江省义乌中学

通过验算这些口诀，至少回答了学生儿时的懵懂记忆，获得了数学的明证，从而认识到“归纳——猜想——证明”乃是科学发现的通途、理性思考的借鉴．把中国古代数学崇尚“技艺实用”的价值取向与西方文化注重“演绎思辩”的数学价值观结合起来，锤炼出当代社会需要的理性精神． 浙江省义乌中学

4．化散为聚，体验多元文化

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数学是全人类共同的遗产，不同文化背景下的数学思想、数学创造都是根深叶茂的世界数学之树不可分割的一枝．从多元文化的角度认识数学，会让我们的学生以平等、开放的眼光看待本民族与其他民族文化传统之中的数学成果，树立正确的数学观，实现多元文化观点下的数学教育目的． 义中校园网

在“丰富多彩的计数制度”一节，教师可以把各种记数制度整合在一起，设计问题：右侧看似散乱的图画中，内容是从1到15的连续的自然数，用不同的数字系统写成：罗马的、中国书写体、中国条形数字、巴比伦的、埃及象形文字、二进位制、希腊的和印度—阿拉伯数字等．当你依数的大小顺序用折线连接数字下方的打点号时，你就将洞悉这个奇妙的谜底． http://www.ywhs.net

数学史中的“多元”现象还表现在数学史家就同一历史现象的多角度、多层次的研究成果上．它们是数学史问题设计的宝贵资源，散见于各种论文或专著，课堂中让学生阅读这些资料当然是不现实的．教师可以选其精华、集中材料，以适当的方式予以呈现．例如可以让学生选择适合《九章算术》和《原本》风格的某些说法，如注重演绎推理与注重实际应用，几何代数化与代数几何化，依算法或公理化方法组建理论体系等等，通过整体感知，提高学生多元化分析与评价事物的能力． http://www.ywhs.net

目前，我国中学层面的数学史教育正处于起步阶段，数学史问题设计的研究工作任重道远．有效的数学史问题设计，应凸现数学中的“人性”．让学生得以学习数学家的思维方式，感悟数学思想，接受数学精神的教育，体验丰富多彩的数学文化．当数学伴随着历史的脚步走近学生之时，学生也将在数学史的学习中走进数学的殿堂．

（该文原载《》） http://www.ywhs.net

【参考文献】 http://www.ywhs.net

[1] 人民教育出版社．课程教材研究室，中学数学课程教材研究开发中心．数学史选讲[M]．北京：人民教育出版社，2007．

[2] 莫里斯•克莱因．古今数学思想（第一册）[M]．上海：上海科学技术出版社，2002：1． 义中校园网